Question

如圖1，射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射線OM，ON分別平分∠AOD，∠BOC．
（1）若∠AOC=60°，試通過計算比較∠NOD和∠MOC的大��；
（2）如圖2，若將圖1中∠COD在∠AOB內(nèi)部繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．
①旋轉(zhuǎn)過程中∠MON的大小始終不變．求∠MON的值；
②如圖3，若旋轉(zhuǎn)后OC恰好為∠MOA的角平分線，試探究∠NOD與∠MOC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵∠AOC=60°，∠DOC=30°，
∴∠DOA=90°，
∴∠DOM=45°，
∴∠MOC=45°-30°=15°．
∵∠AOC=60°，∠AOB=150°，
∴∠BOC=90°，
∴∠NOC=45°，
∴∠NOD=45°-30°=15°．
∴∠MOC=∠NOD，
（2）①：∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD=2∠AOM，∠BOC=2∠BON．
∴∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD=2∠AOM+2∠BON-30°=150°
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MON=150°-90°=60°
②設(shè)∠MOC=∠AOC=x，
∵OC為∠MOA的角平分線，
∴∠AOM=2x，
∵∠COD=30°
∴∠DOM=30°-x，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM=∠DOM=30°-x，
∴30°-x=2 x，
可得x=10°，
則∠MOC=∠AOC=10°，
∠DOM=30°-10°=20°，
∵∠AOB=150°
∴∠BOC=150°-10°=140°
∵射線ON平分∠BOC，
∴∠CON=70°
∴∠NOD=∠CON-∠COD=70°-30°=40°，
∴∠NOD=4∠MOC．
分析：（1））根據(jù)∠AOC=60°，∠DOC=30°，得出∠DOA、∠DOM和∠MOC的度數(shù)，再根據(jù)∠AOC=60°，∠AOB=150°，得出∠BOC、∠NOC和∠NOD=45°-30°的度數(shù)，即可求出∠MOC=∠NOD；
（2）①如圖（1）所示，按題意，∠MON=∠MOD+∠NOC-∠COD=（∠AOD+∠BOC）-∠COD=（∠AOB+∠COD）-∠COD=60°，即∠MON=60°；
②先令∠MOC=∠AOC=x，得出∠DOM=30°-x，求出x的值，即可求出∠DOM、∠NOD和∠AOC的值，即可求出∠NOD與∠MOC的數(shù)量關(guān)系．
點評：本題主要考查學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對角度關(guān)系及運算的靈活運用和掌握．此類題目的練習(xí)有利于學(xué)生更好的對角的理解．