Question

如圖，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等邊三角形，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，DE交AB于G點(diǎn)，下列結(jié)論中：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE是菱形； ③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．正確的結(jié)論是

1. A.
   ②④
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形的全等即可解出本題．
解答：解：（1）如圖，連接CF，∠ABC=60°．△ABC是直角三角形，
所以CF=AB=AF，
△ACE是等邊三角形，
所以AE=CE，而△AEF與△CEF共一條邊，由此可知，△AEF≌△CEF．
所以A點(diǎn)和C點(diǎn)是關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，EF⊥AC成立；
（2）F是AB中點(diǎn)，所以DF⊥AB，那么在△ADF中AD是斜邊，DF是直角邊，
即AD＞DF，由此可知四邊形ADFE不可能是菱形．
（3）∠DAB=∠ABC=60°，所以AD∥BC．AC⊥EF，∠ACB=90°，所以EF∥AD．由上可知AD∥EF．
EF=2AF=AD．
故AD=EF．
四邊形ADFE是平行四邊形，AG=AF=AB=AD，
即AD=4AG．
（4）由四邊形ADFE是平行四邊形可得AE=DF，AD=FE，而AD=DB，
所以DB=FE，AF=FB，
故得△DBF≌△EFA．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，直角三角形的中線以及平行四邊形的判定．