Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-8，0）、B（2，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且∠ACB=90°；
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求a，b，c的值；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得PB+PC最小，求P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB的長，再根據(jù)同角的余角相等求出∠OAC=∠OCB，然后利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似求出△AOC和△COB相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OC的長，即可得解；
（2）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（3）根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸，然后根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路徑問題，AC與拋物線的對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，然后求解即可．

解答：解：（1）∵A（-8，0）、B（2，0），
∴OA=8，OB=2，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠OCB，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴

OC

OB

=

OA

OC

，
即

OC

2

=

8

OC

，
解得OC=4，
∵點(diǎn)C在y軸正半軸，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-8，0）、B（2，0）、（0，4），
∴

64a-8b+c=0 4a+2b+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 4 b=- 3 2 c=4

；

（3）由（2）得，拋物線解析式為y=-

1

4

x²-

3

2

x+4，
對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=-

- 3 2

2×(- 1 4 )

=-3，
根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使得PB+PC最小的點(diǎn)P，
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-8k+b=0 b=4

，
解得

k= 1 2 b=4

，
∴直線AC的解析式為y=

1

2

x+4，
x=-3時(shí)，y=-

1

2

×3+4=

5

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，

5

2

）時(shí)，PB+PC最小．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及軸對(duì)稱確定最短路徑問題，（3）確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．