Question

如圖1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點(diǎn)，.

（1）求證：AD=AE；

（2）如圖2，點(diǎn)P在BE上，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連結(jié)AF. 求證：；

（3）請你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連結(jié)AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，

              ∴

 ∴．

              ∴．

∴AE=BC.

∵ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC.

∴AE=AD.

（2）在DP上截取DH=EF（如圖8）．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，

∴∠EAD=90°．

∵EF⊥PD，∠1＝∠2，

∴∠ADH=∠AEF．

∵AD=AE，

∴△ADH≌△AEF．

∴∠HAD=∠FAE，AH=AF．

∴∠FAH ==90°．

在Rt△FAH中， AH=AF，

∴．

∴．

即．

（3）按題目要求所畫圖形見圖9，

線段DF、EF、AF之間的數(shù)量

關(guān)系為：

．

【解析】（1）首先根據(jù)∠B的正切值知：AE=2BE，而E是BC的中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形的對邊相等即可得證．

（2）此題要通過構(gòu)造全等三角形來求解；作GA⊥AF，交BD于G，通過證△AFE≌△AGD，來得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得證．

（3）輔助線作法和解法同（2），只不過結(jié)論有所不同而已．