Question

已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以點D為圓心，DA長為半徑的⊙D與AB相切于A，與BC交于點F，過點D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：四邊形ABED為矩形；
（2）若AB=4，=，求CF的長．

Answer 1

（1）證明：∵⊙D與AB相切于點A，
∴AB⊥AD，
∵AD∥BC，DE⊥BC，
∴DE⊥AD，
∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°，
∴四邊形ABED為矩形．

（2）解：∵四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=4，
∵DC=DA，
∴點C在⊙D上，
∵D為圓心，DE⊥BC，
∴CF=2EC，
∵，設AD=3k（k＞0）則BC=4k，
∴BE=3k，
EC=BC-BE=4k-3k=k，
DC=AD=3k，
由勾股定理得DE²+EC²=DC²，
即4²+k²=（3k）²，
∴k²=2，
∵k＞0，
∴k=，
∴CF=2EC=2．
分析：（1）根據(jù)AD∥BC和AB切圓D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出結(jié)論；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AD=BE=AB=DE=4，根據(jù)垂徑定理求出CF=2CE，設AD=3k，則BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一個關(guān)于k的方程，求出k的值，即可求出答案．
點評：本題考查了勾股定理，切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定，垂徑定理等知識點的應用，通過做此題培養(yǎng)了學生的推理能力和計算能力，用的數(shù)學思想是方程思想，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．