Question

AB為⊙O的直徑，C為弧AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，AE交CD于點(diǎn)P，邊接CB，過E作EF∥BC，交AB的延長線于F．
（1）求證：PA=PC．
（2）當(dāng)E點(diǎn)在什么位置時，EF是⊙O的切線？

Answer 1

（1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵C為的中點(diǎn)，
∴=，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠ACD=∠CAE，
則PA=PC；

（2）當(dāng)E為中點(diǎn)時，EF為圓O的切線，理由為：
若E為中點(diǎn)，連接OE，由垂徑定理得到OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∴EF為圓O的切線．
分析：（1）連接AC，由CD與AB垂直，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由C為弧AE的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換及等角對等邊即可得證；
（2）當(dāng)E為弧BC中點(diǎn)時，EF是圓O的切線，理由為：若E為弧BC中點(diǎn)，利用垂徑定理得到OE垂直于BC，由BC與EF平行，得到OE與EF垂直，即可得出EF為圓O的切線．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，垂徑定理，以及圓周角定理，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．