Question

將Rt△ABC和Rt△DEF按如圖①擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．△ABC沿EF所在直線以每秒1 個單位的速度向右勻速運動，AC邊與折線ED-DF的交點為P，如圖②．當△ABC的邊AB經(jīng)過點D時，停止運動．已知∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=4，BC=3，EF=6．設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當點P在ED邊上時，AP的長為

 

（用含t的代數(shù)式表示）．
（2）當邊AB經(jīng)過點D時，求t的值．
（3）設(shè)△ABC與△DEF的重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系．
（4）在△ABC運動的同時，點Q從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B-A-B以每秒2個單位的速度勻速運動，當△ABC停止運動時，點Q也隨之停止．
①當PQ⊥AB時，求t的值．
②當以A、P、Q為頂點的四邊形APGQ為菱形時，直接寫出菱形APGQ的周長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）判斷出△PCE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得PC=EC，然后根據(jù)AP=AC-PC解答；
（2）過點D作DM⊥EF于M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出ME=3，再表示出BM，然后根據(jù)△DBM和△ABC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解得到t=

15

4

；
（3）分①0≤t≤3時，重疊部分為△PCE，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可；②3＜t≤

15

4

時，設(shè)AB、DE相交于點G，過點G作GH⊥EF于H，表示出BE，再利用∠ABC的正切用GH表示出BH，然后根據(jù)EB+BH=GH整理得到GH的表達式，再表示出PC、CF，然后根據(jù)重疊部分的面積=S_△DEF-S_△BEG-S_△PCF列式整理即可得解；
（4）①根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似判斷出△AQP∽△ACB，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分點P在DE上，點Q從B到A和從A到B兩種情況列式求即可，點P在DF上，表示出AP，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；
②根據(jù)①三種情況，利用菱形的鄰邊相等列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∴PC=EC=t，
∴AP=AC-PC=4-t；
故答案為：4-t．

（2）如圖，過點D作DM⊥EF于點M，
∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵EF=6，
∴DM=EM=MF=3，
∵EC=t，
∴EB=t-3，
∴BM=3-（t-3）=6-t，
∵∠ACB=90°，DM⊥EF，
∴DM∥AC，
∴△DBM∽△ABC，
∴

DM

AC

=

BM

BC

，
即

3

4

=

6-t

3

，
解得t=

15

4

；

（3）由（2）知，當t=3時AB經(jīng)過點D，
所以，當0≤t≤3時，重疊部分為△PCE，S=

1

2

PC•EC=

1

2

t²，
當3≤t≤

15

4

時，設(shè)AB、DE相交于點G，過點G作GH⊥EF于H，
則BE=t-3，
∵tan∠ABC=

GH

BH

=

AC

BC

，
∴

GH

BH

=

4

3

，
∴BH=

3

4

GH，
∵∠DEF=45°，
∴EH=GH，
即t-3+

3

4

GH=GH，
∴GH=4t-12，
又∵PC=CF=6-t，
∴重疊部分的面積=S_△DEF-S_△BEG-S_△PCF，
=

1

2

×6×3-

1

2

×（t-3）×（4t-12）-

1

2

×（6-t）（6-t），
=9-2t²+12t-18-

1

2

t²+6t-18，
=-

5

2

t²+18t-27；

（4）①當PQ⊥AB時，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AQP=90°，
∴△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∵點Q以每秒2個單位的速度勻速運動，
∴點P在DE上時，若點Q從B到A，則AQ=5-2t，若點Q從A到B，則AQ=2t-5，
∴

5-2t

4

=

4-t

5

或

2t-5

4

=

4-t

5

，
解得t=

3

2

，t=

41

14

，
點P在DF上時，PC=CF=6-t，
AP=4-（6-t）=t-2，
∴

2t-5

4

=

t-2

5

，
解得t=

17

6

，
∵

17

6

＜3，
∴t=

17

6

時，點P在DE上，不在DF上，不符合題意，故舍去，
綜上所述，PQ⊥AB時，t的值為

3

2

或

41

14

秒；
②若四邊形APGQ為菱形，則AQ=AP，
∴5-2t=4-t或2t-5=4-t或2t-5=t-2，
解得t=1或t=3，
當t=1時，AP=4-1=3，
菱形的周長=4×3=12，
當t=3時，AP=4-3=1，
菱形的周長=4×1=4，
所以，菱形的周長為12或4．

點評：本題是相似形綜合題，主要利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，菱形的性質(zhì)，難點在于（3）（4）兩個小題要分情況討論，作出圖形更形象直觀．