Question

已知梯形AOCD在直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，其中AD∥OC，AO⊥OC，且CD=5，若C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（5，0），tan∠DCO=

4

3

（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)及過C、D、O三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上自O(shè)點(diǎn)出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)以相同的速度，沿折線A-D-C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一點(diǎn)也立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)△APQ的面積為S，求S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍．
（3）當(dāng)（2）中的S取最大值時(shí)，過Q作QE⊥x軸于E，此時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使S_△OPM=S_△QEM？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)tan∠DCO=

4

3

，以及CD=5，得出DE=4，CE=3，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．
（2）根據(jù)0＜x≤2 時(shí)，以及2＜x≤4時(shí)，分別得出即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)最值以及三角形面積求法得出即可．

解答：解：（1）作DE⊥CO，
∵CD=5，C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（5，0），
tan∠DCO=

4

3

，
∴

DE

EC

=

4

3

，
∴DE=4，CE=3，
∴AD=2，
∴D（2，4），
將O（0，0），D（2，4），C（5，0）代入解析式：

c=0 4a+2b+c=4 25a+5b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=0

．
∴y=-

2

3

x²+

10

3

x；

（2）0＜x≤2 時(shí)，
S=

1

2

（4-t）t=-

1

2

t²+2t，
2＜x≤4時(shí)，
S=-

3

10

（ t-

4

3

）²+

32

15

=-

3

10

t²+

4

5

t+

8

5

；

（3）∵t=2時(shí)，S_最大=2，
當(dāng)S_△OPM=S_△QEM，PO=2，DE=4，
∴PM=2AD=4，
∴M₁（4，

8

3

），
同理可得 M₂（

4

3

，

88

27

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和三角形面積求法等知識(shí)，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．