Question

如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C．
（1）求證：PA²=PB•PC；
（2）割線PEF交⊙O于點E、F，且PB=BC=4，PE=6，求EF的長．

Answer 1

解：（1）連接AB、AC、BO、AO，
∵PA切⊙O于點A，
∴PA⊥AO，即∠PAB+∠BAO=90°，
又∵2∠BAO+∠O=180°，
∴∠PAB=∠O，
∵∠C=∠O，
∴∠PAB=∠C，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
即PA²=PB•PC．

（2）∵PA²=PB•PC，
同理，PA²=PD•PE，
∴PD•PE=PB•PC，
且PB=BC=4，PE=6，
∴，
即DE=PE-PD=6-=．
分析：（1）連接AB、AC、BO、AO，可證得△PAB∽△PCA，則，即PA²=PB•PC
（2）由PA²=PB•PC，同理得，PA²=PD•PE，可證得PD•PE=PB•PC，根據(jù)題意可求得PD，即得出DE的長．
點評：本題考查的是切割線定理，相似三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．