解:(1)∵AB為⊙O的直徑, ∴∠ACB =90°, 在Rt△PCQ中,∠PCQ=∠ACB=90°, ∵∠CPQ=∠CAB, ∴△ABC∽△PQC; (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí),此時(shí)CP⊥直徑AB于D, ∴CP=2CD, ∵AB=10, BC∶CA=4∶3, ∴BC=8,AC=6, 又∵AC·BC=AB·CD, ∴CD=4.8, ∴CP=2CD=9.6, ∵△ABC∽△PQC, ∴, ∴CQ=12.8, (3)因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)過程中,始終有△ABC∽△PQC, 所以PC最大時(shí),CQ取到最大值, ∴當(dāng)PC過圓心O,即PC 取最大值10時(shí),CQ最大,最大為; (4)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧CP的中點(diǎn)時(shí),如圖所示,過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E, ∵P是弧AB的中點(diǎn),∠PCB=45°, ∴∠PCA=45°,在Rt△CBE中, ∴CE=BE=4, 易證:△ABC∽△PBE, ∴PE=3, ∴CP=7, ∴CQ=7×=。 |
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