Question

在△ABC中，∠Ａ＝90°，AB＝４，AC=3，M是AB上的動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N. 以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN，令A(yù)M=x.

(1) 當(dāng)x為何值時，⊙O與直線BC相切？

（2）在動點(diǎn)M的運(yùn)動過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y與x間函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？

　

Answer 1

（1）如圖，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接OA、OD，則OA=OD=MN

在Rt⊿ABC中，BC==5

∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C

⊿AMN∽⊿ABC，∴，，

∴MN=x, ∴OD=x

過點(diǎn)M作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD=x，

在Rt⊿BMQ和Rt⊿BCA中，∠B是公共角

∴Rt⊿BMQ∽Rt⊿BCA，

∴，∴BM==x，AB=BM+MA=x +x=4,∴x=

∴當(dāng)x=時，⊙O與直線BC相切，

（3）隨著點(diǎn)M的運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P 落在BC上時，連接AP，則點(diǎn)O為AP的中點(diǎn)。

∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC

∴⊿AMO∽⊿ABP，∴=，AM=BM=2

故以下分兩種情況討論：

①     當(dāng)0＜x≤2時，y=S_⊿PMN=x².

∴當(dāng)x=2時,y_最大=×2²=

②     當(dāng)2＜x＜4時，設(shè)PM、PN分別交BC于E、F

 ∵四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x

又∵M(jìn)N∥BC，∴四邊形MBFN是平行四邊形

∴FN=BM=4－x，∴PF=x－（4－x）=2x－4，

又⊿PEF∽⊿ACB，∴（）²=

∴S_⊿PEF=（x－2）²,y= S_⊿PMN－ S_⊿PEF=x－（x－2）²=－x²+6x－6

當(dāng)2＜x＜4時，y=－x²+6x－6=－（x－）²+2

∴當(dāng)x=時，滿足2＜x＜4，y_最大=2。

綜合上述，當(dāng)x=時，y值最大，y_最大=2。