Question

AB為定⊙O的定弦，但不是直徑作⊙O的弦C_iD_i（i=1，2，…1999）使得所有C_iD_i都被弦AB平分于M_i，過C_iD_i作⊙O的切線交于P_i，求證：P₁，P₂，…，P₁₉₉₉共圓．

Answer 1

【答案】分析：如圖，對每個P_i，我們只要證明P_i總在△OAB的外接圓上即可．連接OC_i，OD_i，由P_iC_i，P_iD_i是切線可以得到C_i與D_i關(guān)于OP_i對稱，由M_i是C_iD_i的中點(diǎn)，所以O(shè)P_i過M_i，由AB與C_iD_i相交于M_i，由相交弦定理可以得到AM_i•BM_i=C_iM_i•D_iM_i（1），又∠OC_iP_i=∠OD_iP_i=90°，可以得到O、C_i、D_i、P_i四點(diǎn)共圓．然后利用同樣方法可以證明A、O、B、P_i四點(diǎn)共圓，這樣可以證明題目的結(jié)論．
解答：如圖，對每個P_i，我們證明：P_i總在△OAB的外接圓上．
連接OC_i，OD_i，由P_iC_i，P_iD_i是切線知：C_i與D_i關(guān)于OP_i對稱，
由M_i是C_iD_i的中點(diǎn)，所以O(shè)P_i過M_i，
由AB與C_iD_i相交于M_i，由相交弦定理，得：
AM_i•BM_i=C_iM_i•D_iM_i（1）
又∠OC_iP_i=∠OD_iP_i=90°
∴O、C_i、D_i、P_i四點(diǎn)共圓．
由相交弦定理，得C_iM_i•D_iM_i=OM_i•P_iM_i（2）
由（1）（2）得AM_i•BM_i=OM_i•P_iM_i，
∴A、O、B、P_i四點(diǎn)共圓．
故每個P_i都在△AOB的外接圓上，因此所有P₁，P₂，P₁₉₉₉共圓．
點(diǎn)評：此題主要考查了四點(diǎn)共圓的問題，也綜合運(yùn)用了切線長定理、三角形的外心的性質(zhì)以及證明四點(diǎn)共圓的方法．比較復(fù)雜，解題時要細(xì)心和耐心．