Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C，頂點為P，以PA為直徑的⊙D恰好過點C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸、頂點坐標；
（3）求當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減�。�

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），可得b=2a，c=-3a，對稱軸為直線x=-1，又由以PA為直徑的⊙D恰好過點C，可得∠ACP=90°，然后由勾股定理得到方程：（3-1）²+（4a）²=[3²+（3a）²]+[1²+（4a-3a）²]，解此方程即可求得答案；
（2）利用配方法即可求得拋物線的對稱軸、頂點坐標；
（3）根據(jù)圖象即可求得當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減�。�

解答：解：（1）如圖，∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），
∴

9a-3b+c=0 a+b+c=0

，
∴

b=2a c=-3a

，
∵以PA為直徑的⊙D恰好過點C，
∴∠ACP=90°，
∴AP²=AC²+PC²，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），
∴拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-1，
∴點P（-1，a-b+c）即（-1，-4a），
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）交y軸于點C，
∴點C（0，c），即（0，-3a），
∴（3-1）²+（4a）²=[3²+（3a）²]+[1²+（4a-3a）²]，
解得：a=±1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴b=-2，c=3，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，頂點坐標為（-1，4）；

（3）如圖，當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而減小．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、圓周角定理以及勾股定理等知識．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．