Question

已知正方形ABCD中，邊長為4，E為AB邊上的一動點，（E與A，B點不重合），設(shè)AE=x，以E為頂點的內(nèi)接正方形的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，當x為何值時內(nèi)接正方形的面積最�。�

Answer 1

解：如圖，
∵ABCD與EFGH均為正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D，EF=FG=GH=HE，
∠DHG+∠AHE=∠DHG+∠DGH=∠BEF+∠AEH=∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠GFC=90°，
∴∠AHE=∠DGH=∠GFC=∠BEF，
∴△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，
設(shè)AE=x，則BF=CG=DH=x，
BE=CF=DG=AH=4-x，
EF²=BE²+BF²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，
∴y=S_{正方形EFGH}=EF²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8≥8，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=EF²=2x²-8x+16，
當且僅當x=2，即E為AB中點時取最小值8．
分析：此題利用正方形的性質(zhì)，求得△AEH≌△DHG≌△CFG≌△BEF，再利用勾股定理列出函數(shù)關(guān)系式就可以解決問題．
點評：此題考查利用正方形的性質(zhì)、三角形全等及二次函數(shù)的最值解決問題．