Question

如圖，直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P到C、B兩點(diǎn)的距離之和最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)A（1，0），B（3，2）分別代入直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c得：
0=1+m，，
解得m=-1，，
即m=-1，拋物線的解析式為y=x²-3x+2；

（2）∵y=x²-3x+2=（x-）²-，
∴拋物線的對(duì)稱軸是：x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，-）；

（3）∵y=x²-3x+2，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（0，-2），連接C′B，點(diǎn)P即為直線C′B與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)直線C′B的解析式為：y=kx-2，
將B（3，2）代入，得3k-2=2，
解得k=，
∴直線C′B的解析式為y=x-2，
當(dāng)y=0時(shí)，x=，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（，0）．
分析：（1）分別把點(diǎn)A（1，0），B（3，2）代入直線y=x+m和拋物線y=x²+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求得m的值和拋物線的解析式；
（2）將（1）中所求的拋物線的解析式利用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，作C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′B，與x軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線C′B的解析式，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大，（3）小題中確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．