Question

某校九年級(jí)學(xué)生開展了豐富多彩的數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)活動(dòng)．在探討《美麗的正六邊形》課題學(xué)習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)正六邊形可以分成八個(gè)全等的直角梯形（如圖1），也可以分成八個(gè)全等的等腰梯形（如圖2），則直角梯形的最短邊與等腰梯形的最短邊的比值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出輔助線，如圖1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF；設(shè)AB=a，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AH的長(zhǎng)；
如圖2所示，作AD⊥BD，EF⊥AH；設(shè)AB=a，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值可求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出EF的長(zhǎng)及AE的長(zhǎng)．即可求出其比值．

解答：解：如圖1所示，作AD⊥BF，GE⊥BF，設(shè)AB=a；
∵此六邊形是正六邊形，
∴∠ABC=

180°×(6-2)

6

=120°，∠ABD=

120°

2

=60°；
∵AD⊥BF，
∴BD=

a

2

，正六邊形的對(duì)角線長(zhǎng)為2a，
∴AH=

2a- a 2 ×3

4

=

a

8

；
如圖2所示，作AD⊥BD，EF⊥AE，設(shè)AB=a，由1可知，BD=

a

2

，AD=

3 a

2

，則EF=

1

2

AD=

3 a

4

，
在△AEF中，∠EAF=

∠BAE

2

=60°，∠AFE=30°，
∴AE=EF•tan30°=

3 a

4

×

3

3

=

a

4

，
∴EH=GF=a-

a

4

×2=

a

2

．
∴直角梯形的最短邊與等腰梯形的最短邊的比值是AH：EH=

a

8

：

a

2

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再由正六邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可，此題有一定的綜合性，但難度適中．