Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，點E是兩條內(nèi)角平分線的交點，點F是兩條外角平分線，點A₁是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD平分線的交點的交點．
（1）求∠A₁EC的度數(shù)；
（2）求∠BFC的度數(shù)；
（3）探索∠A₁與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（4）若∠A=100°，在（3）的情況下，作∠A₁BC與∠A₁CD的平分線交于點A₂，以此類推，∠A_nBC與∠A_nCD的平分線交于點A_n，求∠A_n的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線定義得到∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BEC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A），然后整理后把∠A=60°代入計算即可；
（2）根據(jù)角平分線定義得到∠FBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠ECB=

1

2

（180°-∠ACB），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BFC=180°-

1

2

（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），然后把∠A=60°代入計算即可；
（3）根據(jù)角平分線定義得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD，∠A=∠ACD-∠ABD，則∠A=2∠A₁CD-2∠A₁BD=2（∠A₁CD-∠A₁BD）=2∠A₁；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論可得到∠A_n=

∠A

2n

，然后把∠A的度數(shù)代入即可．

解答：解：（1）∵點E是兩條內(nèi)角平分線的交點，
∴∠EBC=

1

2

∠ABC，∠ECB=

1

2

∠ACB，
∴∠BEC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A=120°，
∴∠A₁EC=180°-120°=60°；
（2）∵點F是兩條外角平分線，
∴∠FBC=

1

2

（180°-∠ABC），∠ECB=

1

2

（180°-∠ACB），
∴∠BFC=180°-

1

2

（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A=60°，
（3）∠A₁=

1

2

∠A．理由如下：
∵點A₁是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD平分線的交點的交點．
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BD，
∵∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BD，∠A=∠ACD-∠ABD，
∴∠A=2∠A₁CD-2∠A₁BD=2（∠A₁CD-∠A₁BD）
∴∠A=2∠A₁，
即∠A₁=

1

2

∠A；
（4）∠A_n=

100

2n

．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了三角形外角性質(zhì)．