Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C．直線y＝x+3經(jīng)過點(diǎn)A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM∥y軸交直線AC于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

①若以點(diǎn)C、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求t的值．

②當(dāng)射線MP，AC，MO中一條射線平分另外兩條射線的夾角時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；②綜合以上可得t的值為

【解析】

（1）先根據(jù)直線解析式求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把點(diǎn)A和C點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得關(guān)于b和c的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；

（2）當(dāng)OC∥PM，且OC=PM時(shí)，以點(diǎn)C、O、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，可得關(guān)于t的方程，解方程即可；

（3）分三種情況考慮，當(dāng)MP平分AC、MO的夾角，當(dāng)AC平分MP、MO的夾角，當(dāng)MO平分AC、MP的夾角，可由圖形的性質(zhì)得關(guān)于t的方程求解．

（1）在y＝x+3中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝﹣4，得A（﹣4，0），C（0，3），

代入拋物線y=-x2+bx+c解析式得：，

∴拋物線的解析式；

（2）設(shè)P（t，），

∵四邊形OCMP為平行四邊形，

∴PM＝OC＝3，PM∥OC，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（t，t+3），

∴PM＝，

∴|＝3，

當(dāng)﹣t2﹣3t＝3，解得t＝2，

當(dāng)﹣t2﹣3t＝﹣3，解得t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2，

綜上所述，滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；

（3）如圖1，

若當(dāng)MP平分AC、MO的夾角，

則∠AMN＝∠OMN，

∵PN⊥OA，

∴AN＝ON，

∴t的值為﹣2；

如圖2，

若AC平分MP、MO的夾角，過點(diǎn)C作CH⊥OA，CG⊥MP，

則CG＝CH，

∵，

∴OM＝OC＝3，

∵點(diǎn)M在直線AC上，

∴M（t，t+3），

∴MN2+ON2＝OM2，可得，，

解得t＝﹣，

如圖3，

若MO平分AC、MP的夾角，則可得∠NMO＝∠OMC，過點(diǎn)O作OK⊥AC，

∴OK＝ON，

∵∠AKO＝∠AOC＝90°，∠OAK＝OAC，

∴△AOK∽△ACO，

∴，

∴，

∴OK＝，

∴t＝﹣，

綜合以上可得t的值為．