Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=12，設(shè)過A，B，C三點的⊙O₁與邊CD相交于點E，且，直線CB與過A，D，C三點⊙O₂的相切．
（1）求邊CD的長度；
（2）設(shè)⊙O₁，⊙O₂的半徑分別為r₁，r₂，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）連接CO₁，AO₁
由于CB與過A，D，C三點的⊙O₂相切，則∠ACB=∠ADC，又AB∥CD，則∠DCA=∠BAC
∴△ACB∽△CDA
∴∠ABC=∠CAD
而∠ABC=∠AO₁C，則∠CAD=∠AO₁C，
∴∠DAO₁=∠CAD+∠CAO₁=AO₁C+∠CAO₁，
∵CO₁=AO₁∴∠ACO₁=∠CAO₁
∴∠DAO₁=AO₁C+∠CAO₁+∠ACO₁=90°
∴AD與⊙O₁相切，
∴AD²=ED•DC，
而=，
∴ED=CD，則12²=DC²，
∴DC=18；

（2）在⊙O₂中，∠DO₂C=2∠DAC，在⊙O₁中，∠AO₁C=2∠ABC
由（1）得∠ABC=∠CAD，
∴∠DO₂C=∠AO₁C，
∴等腰三角形△DO₂C∽等腰三角形△AO₁C，則==，
由于CD-AD＜AC＜CD+AD，
∴6＜AC＜30，則＜＜．
分析：（1）由△ACB∽△CDA，∠ABC=∠CAD，進(jìn)而得出DA⊥AO₁，再由切線的性質(zhì)可求解線段的長度；
（2）由（1）中可得∠ABC=∠CAD，所以∠DO₂C=∠AO₁C，得出△DO₂C∽△AO₁C，得出對應(yīng)邊成比例，進(jìn)而可求其比值的大小．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及圓形切線的性質(zhì)問題，能夠運用其性質(zhì)熟練解題．