Question

初一（10）班同學到野外上數學活動課，為測量池塘兩點A、B的距離，設計了如下方案：

（Ⅰ）如圖1，先在平地上取一個可直接到達A、B的點C，連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后測出DE的距離即為AB的長；                                  
（Ⅱ）如圖2，先過B點作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點使BC=CD，接著過D作BD的垂線DE，交AC的延長線于E，則測出DE的長即為AB的距離.                                                                                                                                                                                                                                     
閱讀后回答下列問題：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？請說明理由。
（2）方案（Ⅱ）是否可行？請說明理由。
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是                                ；
若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°， 方案（Ⅱ）是否成立？                          .        

Answer 1

（1）方案（Ⅰ）可行，理由見解析（2）方案（Ⅱ）可行，理由見解析（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）成立，理由見解析解析:
解：（1）方案（Ⅰ）可行；
∵DC=AC，EC=BC且有對頂角∠ACB=∠DCE
∴△ACB≌△DCE（SAS）
∴AB=DE
∴測出DE的距離即為AB的長
故方案（Ⅰ）可行．
（2）方案（Ⅱ）可行；
∵AB⊥BC，DE⊥CD
∴∠ABC=∠EDC=90°
又∵BC=CD，∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC
∴AB=ED
∴測出DE的長即為AB的距離
故方案（Ⅱ）可行．
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE．
若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）成立；
理由：∵∠ABD=∠BDE≠90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ACB≌△DCE（ASA）
∴AB=DE
∴測出DE的距離即為AB的長
（1）由題意可證明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；
（2）由題意可證明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若僅滿足∠ABD=∠BDE≠90°，故此時方案（Ⅱ）成立