Question

【題目】認真閱讀下面的材料，完成有關問題：

材料　在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5－3|表示5,3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5＋3|＝|5－(－3)|，所以|5＋3|表示5，－3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5|＝|5－0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a－b|.

(1)點A，B，C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)－5，－1, 3，那么A到B的距離是 ，A到C的距離是_____.(直接填最后結果)

(2)點A，B，C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x，－2,1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為 (用含絕對值的式子表示)．

(3)利用數(shù)軸探究：

①設|x－3|＋|x＋1|＝p，當x的值取在不小于－1 且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是_____；

②求|x|＋|x－2|的最小值以及此時x的取值范圍？

Answer 1

【答案】(1)4,8; (2)|x+2|+|x-1|或|x-(-2)|+|x-1|;(3)①4；②當x的取值在不小于0且不大于2的范圍時，|x|+|x-2|的最小值是2.

【解析】

（1）根據(jù)兩點間距離公式代入相應的值即可得出答案；

（2）根據(jù)兩點間距離公式分別求出A到B的距離和A到C的距離，兩式相加即可得出答案；

（3）①根據(jù)“x的值取在不小于－1 且不大于3的范圍”將絕對值化簡再進行計算即可得出答案；②根據(jù)①中的探究可知，當x的取值在不小于0且不大于2的范圍時，|x|+|x-2|有最小值，再根據(jù)x的取值范圍化簡絕對值，即可得出最小值.

解：（1）A到B的距離是：;

A到C的距離是：；

（2）A到B的距離是：;

A到C的距離是：

∴A到B的距離與A到C的距離之和可表示為：；

（3）①∵x的值取在不小于－1 且不大于3的范圍

∴

又|x－3|＋|x＋1|＝p

∴p=4，這個最小值是4；

②∵當x的值取在不小于－1 且不大于3的范圍時，|x－3|＋|x＋1|有最小值，最小值為4

∴當x的取值在不小于0且不大于2的范圍時，|x|＋|x－2|有最小值，最小值為2.