Question

閱讀下列文字
2010年廣州亞運會前夕某公司生產(chǎn)一種時令商品每件成本為20元，經(jīng)市場發(fā)現(xiàn)該商品在未來40天內(nèi)的日銷售量為a件，與時間t天的關(guān)系如下表：

時間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量a（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價格b（元/件）與時間t的關(guān)系為b=

1

4

t+25（1≤t≤20），后20天每天價格為c（元/件）與時間t的關(guān)系式為c=-

1

2

t+40（21≤t≤40）解得下列問題
（1）分析表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的a與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請預(yù)測未來40天中哪一天日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中該公司決定銷售一件就捐贈n元（n＜4）利潤給亞運會組委會，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)前20天中，每天扣除捐贈后利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求n的取值范圍．

解答：解：（1）將

t=1 a=96

，

t=3 a=90

代入一次函數(shù)a=kt+m，
有

k+m=94 3k+m=90

∴

k=-2 m=96

∴a=-2t+96，
經(jīng)檢驗，其他點的坐標均適合以上解析式
故所求函數(shù)的解析式為a=-2t+96．

（2）設(shè)前20天日銷售利潤為P₁，后20天日銷售利潤為P₂
由P₁=（-2t+96）（

1

4

t+5）=-

1

2

t²+14t+480=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，∴當t=14時，P₁有最大值578元，
由P₂=（-2t+96）（-

1

2

t+20）=t²-88t+1920=（t-44）²-16，
∵21≤t≤40且對稱軸為t=44，∴函數(shù)P₂在21≤t≤40上隨t的增大而減小，
∴當t=21時，P₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元），
∵578＞513，故第14天時，銷售利潤最大，為578元．

（3）P₃=（-2t+96）（

1

4

t+5-n）=-

1

2

t²+（14+2n）t+480-96n，
∴對稱軸為t=14+2n，
∵1≤t≤20，
∴14+2n≥20得n≥3時，P₃隨t的增大而增大，
又∵n＜4，
∴3≤n＜4．

點評：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，注意：（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性；（2）最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時，正確表達關(guān)系式是關(guān)鍵．同時注意自變量的取值范圍．