Question

（2012•鞍山一模）如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3

3

，0），點(diǎn)B在x軸上方且BA⊥x軸，tanB=

3

，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，點(diǎn)P是線段OA上一動點(diǎn)，PM∥AB交BC于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)Q，以PM為斜邊向右作直角三角形PMN，∠MPN=30°，PN、MN的延長線交直線AB于E、F，設(shè)PO的長為x，EF的長為y．
（1）求線段PM的長（用x表示）；
（2）求點(diǎn)N落在直線AB上時x的值；
（3）求PE是線段MF的垂直平分線時直線PE的解析式；
（4）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出相應(yīng)的自變量x取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意易得四邊形OCQP是矩形，則OP=CQ=x，PQ=OC=3，又由平行線分線段成比例定理，可得

MQ

BD

=

CQ

CD

，則可求得MQ的值，繼而求得PM的值；
（2）由∠PNM=90°，∠MPN=30°，可得∠NPA=60°，然后在Rt△NPA中，表示出PN的值，在Rt△PNM中，也可表示出PN，則可得方程2（3

3

-x）=

3

2

（3+

3

3

x），解此方程即可求得答案；
（3）首先設(shè)點(diǎn)E（3

3

，m），利用三角函數(shù)的知識即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（3

3

，9-

3

x），又由PE是線段MF的垂直平分線，可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而可得方程6-

2 3

3

x=3+

3

3

x，解此方程則可求得點(diǎn)P與E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得此直線的解析式；
（4）由△PNM∽△ENF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，即可求得EF：PM=AG：GP，繼而可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，由PN、MN的延長線交直線AB于E、F，可得x的取值范圍從0開始，到點(diǎn)N在BD上時結(jié)束．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3

3

，0），
∴OC=AD=3，OA=CD=3

3

，
∵CD⊥AB，tanB=

3

，
∴BD=

CD

tanB

=3，
∵PM∥AB，CD⊥AB，BA⊥x軸，
∴四邊形OCQP是矩形，
∴OP=CQ=x，PQ=OC=3，
∴

MQ

BD

=

CQ

CD

，
即

MQ

3

=

x

3 3

，
∴MQ=

3

3

x，
∴PM=PQ+MQ=3+

3

3

x；

（2）∵∠PNM=90°，∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
∴在Rt△NPA中，cos∠NPA=

PA

PN

=

1

2

，
∴PN=2PA=2（3

3

-x），
在Rt△PNM中，PN=PM•cos∠MPN=PM•cos30°=

3

2

PM=

3

2

（3+

3

3

x），
∴2（3

3

-x）=

3

2

（3+

3

3

x），
解得：x=

9 3

5

；

（3）設(shè)E（3

3

，m），
∵∠MPN=30°，
∴∠NPA=60°，
在Rt△EPA中，tan∠EPA=

AE

PA

=

m

3 3 -x

=

3

，
∴m=9-

3

x，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（3

3

，9-

3

x），
∵PE為MF的垂直平分線，PM∥EF，
∴MN：FN=PN：EN，
∴PN=EN，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（

3 3 +x

2

，

9- 3 x

2

），
過點(diǎn)N作NG⊥OA于G，
∴PG=

3 3 +x

2

-x=

3 3 -x

2

，
∴PN=2PG=3

3

-x，
∴PM=

PN

cos∠NPM

=

3 3 -x

3 2

=6-

2 3

3

x，
∴6-

2 3

3

x=3+

3

3

x，
解得：x=

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3

3

，6），
設(shè)直線PE的解析式為：y=kx+b，
∴

3 k+b=0 3 3 k+b=6

，
解得：

k= 3 b=-3

，
∴直線PE的解析式為：y=

3

x-3；

 （4）過N作NG⊥x軸于G，
∵PN=PM•cos∠NPM=

3

2

PM，
∴NG=PN•sin∠NPM=

3

2

PN=

3

4

PM，PG=PN•cos∠NPG=

1

2

PN=

3

4

PM，
∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)為

3

4

PM+x，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為

3

4

PM，
∵PM∥EF，
∴△PNM∽△ENF，
∴EF：PM=AG：GP，
即

y

PM

=

3 3 -( 3 4 PM+x)

3 4 PM

，
整理得：y=12-PM-

4 3

3

x=12-（3+

3

3

x）-

4 3

3

x=9-

5 3

3

x，
x的取值范圍為：（0＜x＜

9 3

5

）．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的知識、矩形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．此題難度較大，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．