Question

【題目】把2016個正整數(shù)1、2、3、4、……、2016按如圖方式排列成一個表，用一方框按如圖所示的方式任意框住9個數(shù)．（方框只能平移）

（1）若框住的9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為39，則：這九個數(shù)的和為__________．

（2）方框能否框住這樣的9個數(shù)，它們的和等于2016？若能，請寫出這9個數(shù)；若不能，請說明理由。

（3）若任意框住9個數(shù)的和記為S，則：S的最大值與最小值之差等于__________．

Answer 1

【答案】（1）351（2）不能框住這樣的9個數(shù)，它們的和等于2016（3）17991

【解析】

（1）找出所框數(shù)字上下兩行間的數(shù)量關(guān)系，左右數(shù)字間的數(shù)量關(guān)系，即可寫出另外的八個數(shù)，進(jìn)而求出它們的和；

（2）由（1）可知方框框住這樣的9個數(shù)的和是正中間的一個數(shù)的9倍，代入2016求出中間的數(shù)，由224÷7=32，可得出224為32行的第7個數(shù)，即2016后面不存在數(shù)，從而得出方框框不住這樣的9個數(shù)．它們的和不能等于2016；

（3）S取最大值時9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為2008，S取最小值時9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為3，即可求得S的最大值與最小值，相減即可．

（1）中間一個數(shù)是39，則其他八個數(shù)分別是31,32,33,38,40,45,46,47，它們的和是351；

﹙2﹚設(shè)框住的9數(shù)中中間的數(shù)為a，則這9數(shù)之和為﹙a－8﹚＋﹙a－7﹚＋﹙a－6﹚＋﹙a－1﹚＋a＋﹙a＋1﹚＋﹙a＋6﹚＋﹙a＋7﹚＋﹙a＋8﹚＝9a

9a＝2016，

a＝224，

∵224＝7×32，

∴224是表中第32排的最后一個數(shù)，

∴不能框住這樣的9個數(shù)，它們的和等于2016；

（3）S取最大值時9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為2008，S取最小值時9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為9，則S最大-S最小=9×2008-9×9=17991，

故答案為：17991