Question

（2013•隨州）某公司投資700萬(wàn)元購(gòu)甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)和設(shè)備后，進(jìn)行這兩種產(chǎn)品加工．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)30元，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)20元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），當(dāng)35≤x＜50時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20-0.2x；當(dāng)50≤x≤70時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)，在25元（含）到45元（含）之間，且年銷售量穩(wěn)定在10萬(wàn)件．物價(jià)部門規(guī)定這兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元．
（1）當(dāng)50≤x≤70時(shí)，求出甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬(wàn)元）與x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若公司第一年的年銷售量利潤(rùn)（年銷售利潤(rùn)=年銷售收入-生產(chǎn)成本）為W（萬(wàn)元），那么怎樣定價(jià)，可使第一年的年銷售利潤(rùn)最大？最大年銷售利潤(rùn)是多少？
（3）第二年公司可重新對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)，在（2）的條件下，并要求甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)x（元）在50≤x≤70范圍內(nèi)，該公司希望到第二年年底，兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤(rùn)之和-投資成本）不低于85萬(wàn)元．請(qǐng)直接寫出第二年乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)m（元）的范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），然后把點(diǎn)（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；
（2）先根據(jù)兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元，根據(jù)乙種產(chǎn)品的定價(jià)范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65兩種情況，根據(jù)銷售利潤(rùn)等于兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)之和列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的增減性確定出最大值，從而得解；
（3）用第一年的最大利潤(rùn)加上第二年的利潤(rùn)，然后根據(jù)總盈利不低于85萬(wàn)元列出不等式，整理后求解即可．

解答：解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（50，10），（70，8），
∴

50k+b=10 70k+b=8

，
解得

k=-0.1 b=15

，
所以，y=-0.1x+15；

（2）∵乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)在25元（含）到45元（含）之間，
∴

90-x≥25 90-x≤45

，
解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50時(shí)，W=（x-30）（20-0.2x）+10（90-x-20），
=-0.2x²+16x+100，
=-0.2（x²-80x+1600）+320+100，
=-0.2（x-40）²+420，
∵-0.2＜0，
∴x＞40時(shí)，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=45時(shí)，W有最大值，W_最大=-0.2（45-40）²+420=415萬(wàn)元；
②50≤x≤65時(shí)，W=（x-30）（-0.1x+15）+10（90-x-20），
=-0.1x²+8x+250，
=-0.1（x²-80x+1600）+160+250，
=-0.1（x-40）²+410，
∵-0.1＜0，
∴x＞40時(shí)，W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=50時(shí)，W有最大值，W_最大=-0.1（50-40）²+410=400萬(wàn)元．
綜上所述，當(dāng)x=45，即甲、乙兩種產(chǎn)品定價(jià)均為45元時(shí)，第一年的年銷售利潤(rùn)最大，最大年銷售利潤(rùn)是415萬(wàn)元；

（3）根據(jù)題意得，W=-0.1x²+8x+250+415-700=-0.1x²+8x-35，
令W=85，則-0.1x²+8x-35=85，解得x₁=20，x₂=60．
又由題意知，50≤x≤65，根據(jù)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)可知50≤x≤60，
即50≤90-m≤60，
∴30≤m≤40．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，本題最大的特點(diǎn)就是要根據(jù)x的范圍的不同分情況列出不同的函數(shù)關(guān)系式，其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x=-

b

2a

時(shí)取得．