Question

4．直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于M，N兩點，O為坐標原點，將△OMN沿直線MN翻折后得到△PMN，則點P的坐標為（-3，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 連接OP交MN于點E，過點P作PF⊥x軸于點F．根據(jù)直線MN的解析式可求出點M、N的坐標，利用三角形的面積公式可求出PE的長度，依據(jù)翻折的性質(zhì)可以求出線段OP的長度，利用正弦的定義通過角的計算可求出∠MOE的度數(shù)，再利用正弦余弦的定義即可求出線段OF、PF的長度，由此即可得出點P的坐標．

解答 解：連接OP交MN于點E，過點P作PF⊥x軸于點F，如圖所示．

∵直線MN的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴點M的坐標為（-2，0），點N的坐標為（0，2$\sqrt{3}$），
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=4，
∴sin∠ONM=$\frac{OM}{MN}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∠ONM=30°．
∵MN•OE=OM•ON，
∴OE=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$．
∵△OMN沿直線MN翻折后得到△PMN，
∴OP=2OE=2$\sqrt{3}$．
∵∠OMN+∠ONM=90°，∠OME+∠MOE=90°，
∴∠MOE=30°，
∴PF=OP•sin∠FOP=$\sqrt{3}$，OF=OP•cos∠FOP=3，
∴點P的坐標為（-3，$\sqrt{3}$）．
故答案為（-3，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及翻折變換，解題的關(guān)鍵是求出線段OF、PF的長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過解直角三角形，利用正余弦的定義求出線段的長度是關(guān)鍵．