Question

4．直線y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，將△OMN沿直線MN翻折后得到△PMN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 連接OP交MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F．根據(jù)直線MN的解析式可求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可求出PE的長(zhǎng)度，依據(jù)翻折的性質(zhì)可以求出線段OP的長(zhǎng)度，利用正弦的定義通過(guò)角的計(jì)算可求出∠MOE的度數(shù)，再利用正弦余弦的定義即可求出線段OF、PF的長(zhǎng)度，由此即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：連接OP交MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵直線MN的解析式為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），
∴MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=4，
∴sin∠ONM=$\frac{OM}{MN}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，∠ONM=30°．
∵M(jìn)N•OE=OM•ON，
∴OE=$\frac{OM•ON}{MN}$=$\frac{2×2\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$．
∵△OMN沿直線MN翻折后得到△PMN，
∴OP=2OE=2$\sqrt{3}$．
∵∠OMN+∠ONM=90°，∠OME+∠MOE=90°，
∴∠MOE=30°，
∴PF=OP•sin∠FOP=$\sqrt{3}$，OF=OP•cos∠FOP=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，$\sqrt{3}$）．
故答案為（-3，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及翻折變換，解題的關(guān)鍵是求出線段OF、PF的長(zhǎng)度．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)解直角三角形，利用正余弦的定義求出線段的長(zhǎng)度是關(guān)鍵．