Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D，連接BC，BC與拋物線的對稱軸交于點E．
（1）求點B、點C的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）求直線BC的函數關系式；
（3）點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．設點P的橫坐標為m；用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

Answer 1

解：（1）在y=-x²+2x+3中，當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解：得x₁=-1或x₂=3，
∴B（3，0），
拋物線的對稱軸是：x=-=1；

（2）設直線BC的函數關系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的函數關系式為：y=-x+3；

（3）在y=-x²+2x+3中，當x=1時，y=4，
∴D（1，4），
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
分析：（1）對于拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出OC的值，得出C的坐標，令y=0求出x的值，確定出B的坐標，進而得出拋物線對稱軸；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；
（3）將x=1代入拋物線解析式，求出y的值，確定出D坐標，將x=1代入直線BC解析式求出y的值，確定出E坐標，求出DE長，將x=m代入拋物線解析式表示出F縱坐標，將x=m代入直線BC解析式表示出P縱坐標，兩縱坐標相減表示出線段PF，由DE與FP平行，要使四邊形PEDF為平行四邊形，只需DE=PF，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，檢驗即可．
點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，一次函數與坐標軸的交點，拋物線與坐標軸的交點，平行四邊形的判定，以及待定系數法求函數解析式，熟練掌握待定系數法是解本題第二問的關鍵．