Question

如圖，已知拋物線C₁∶y＝a(x＋2)²－5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，點B的橫坐標是1．

(1)求P點坐標及a的值；

(2)圖(1)，拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向右平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點B成中心對稱時，求C₃的解析式；

(3)圖(2)，點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線

C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點(點E在點F的左邊)，當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由拋物線C1：得 　　頂點P的為(－2，－5)　2分 　　∵點B(1，0)在拋物線C1上 　　∴ 　　解得，a＝　4分 　　(2)連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G 　　∵點P、M關于點B成中心對稱 　　∴PM過點B，且PB＝MB 　　∴△PBH≌△MBG 　　∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3 　　∴頂點M的坐標為(4，5)　5分 　　拋物線C2由C1關于x軸對稱得到，拋物線C3由C2平移得到 　　∴拋物線C3的表達式為　6分 　　(3)∵拋物線C4由C1繞點x軸上的點Q旋轉180°得到 　　∴頂點N、P關于點Q成中心對稱 　　由(2)得點N的縱坐標為5 　　設點N坐標為(m，5)　7分 　　作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G 　　作PK⊥NG于K 　　∵旋轉中心Q在x軸上 　　∴EF＝AB＝2BH＝6 　　∴FG＝3，點F坐標為(m＋3，0) 　　H坐標為(2，0)，K坐標為(m，－5)， 　　根據勾股定理得 　　PN2＝NK2＋PK2＝m2＋4m＋104 　　PF2＝PH2＋HF2＝m2＋10m＋50 　　NF2＝52＋32＝34　8分 　�、佼敗�PNF＝90°時，PN2＋NF2＝PF2，解得m＝，∴Q點坐標為(，0) 　　②當∠PFN＝90°時，PF2＋NF2＝PN2，解得m＝，∴Q點坐標為(，0) 　�、邸�PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90° 　　綜上所得，當Q點坐標為(，0)或(，0)時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．9分