已知等邊△ABC和三角形內(nèi)一點P,設(shè)點P到△ABC三邊的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.
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(1)請寫出h與h1、h2、h3的關(guān)系式,并說明理由;
(2)若點P在等邊△ABC的邊上,仍有上述關(guān)系嗎?
(3)若點P在三角形外,仍有上述關(guān)系嗎?若有,請你證明,若沒有,請你寫出它們新的關(guān)系式,并給予證明.精英家教網(wǎng)
分析:(1)連接PA,PB,PC,由S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB,可得
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
AC•h2+
1
2
BC•h3,又由△ABC是等邊三角形,即可得h=h1+h2+h3;
(2)利用(1)的證明方法,可從P在AC上,則h2=0,去分析,仍可求得h=h1+h2+h3;
(3)連接PA,PB,PC,則可得S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB,然后利用(1)中的分析方法,即可求得h=h1+h2-h3
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接PA,PB,PC,
則S△ABC=S△PAC+S△PBC+S△PAB,
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
AC•h2+
1
2
BC•h3,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,
∴h=h1+h2+h3;

精英家教網(wǎng)(2)仍有h=h1+h2+h3;
理由:如圖:設(shè)P在AC上,則h2=0,
連接PB,
則S△ABC=S△PBC+S△PAB
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
BC•h3,
∵△ABC是等邊三角形,
AB=BC=AC,
∴h=h1+h3;
即h=h1+h2+h3;

精英家教網(wǎng)(3)h=h1+h2-h3
連接PA,PB,PC,
則S△ABC=S△PAC+S△PBC-S△PAB
1
2
BC•h=
1
2
AB•h1+
1
2
AC•h2-
1
2
BC•h3,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,
∴h=h1+h2-h3
點評:此題考查了等邊三角形的性質(zhì)與三角形面積的求解方法.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應用,注意輔助線的作法.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

23、如圖,已知等邊三角形ABC,在AB上取點D,在AC上取點E,使得AD=AE,作等邊三角形PCD,QAE和RAB,求證:P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•德化縣模擬)如圖,已知:△ABC是邊長為2
3
的等邊三角形,四邊形DEFG是邊長為3的正方形.現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放,使點C與點E重合,點B、C(E)、F在同一條直線上,△ABC從圖1的位置出發(fā),以每秒
1
2
個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動,當點C與點F重合時暫停運動,設(shè)△ABC的運動時間為t秒(t≥0).
(1)在運動過程中,設(shè)AC交DE于點P,PE=
3
2
3
2
t;
(2)在整個運動過程中,設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S,
①當t為何值時,S等于△ABC面積的三分之一;
②當點A在DG上運動時,請求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍;
(3)如圖2,若四邊形DEFG是邊長為2
3
的正方形,△ABC的移動速度為每秒
3
2
個單位長度,其余條件保持不變.△ABC開始移動的同時,Q點從F點開始,沿折線F-G-D以每秒
3
個單位長度開始移動,△ABC停止運動時,Q點也停止運動.設(shè)在運動過程中,DE交折線B-A-C于P點,則是否存在t的值,使得PC與EQ互相垂直?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知等邊△ABC邊長為4,D、E分別為BC和AC上的點,且△ABD∽△DCE,則∠ADE=
60
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度;若點D為BC的三等分點,則EC=
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9
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

已知等邊△ABC邊長為4,D、E分別為BC和AC上的點,且△ABD∽△DCE,則∠ADE=________度;若點D為BC的三等分點,則EC=________.

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科目:初中數(shù)學 來源:江蘇省期中題 題型:填空題

已知等邊△ABC邊長為4,D、E分別為BC和AC上的點,且△ABD~△DCE,則∠ADE=(    )度;若點D為BC的三等份點,則EC=(    )。

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