Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（-1，0），如圖所示；拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；
（2）△ABC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△ABC，試判斷點(diǎn)B是否在拋物線上，請說明理由；
（3）點(diǎn)G是拋物線上的動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使A、C、P、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過B作x軸的垂線，設(shè)垂足為D，通過證三角形BDC和三角形COA全等來求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；得出B點(diǎn)坐標(biāo)后，將其代入拋物線的解析式中即可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的B點(diǎn)坐標(biāo)可知，B點(diǎn)正好和AC的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此三角形繞AC中點(diǎn)，選擇180°后，B′的縱坐標(biāo)不變，由此可求出B′坐標(biāo)為（2，1）．將其代入拋物線的解析式中即可判定出旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)是否在拋物線上；
（3）本題符合條件的P點(diǎn)較多：
可將A點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可求出兩個(gè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出AQ的長，然后將C點(diǎn)坐標(biāo)向左或向右平移AQ個(gè)單位，可得出4個(gè)符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，將其縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可得出兩個(gè)符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直線AC的斜率求出直線PQ的解析式，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，這種情況可得出2個(gè)符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)，綜上所述應(yīng)該有6個(gè)符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°；
∴∠BCD=∠CAO；
又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=OC=1，CD=OA=2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1）；
∵拋物線y=ax²+ax-2經(jīng)過點(diǎn)B（-3，1），則得到1=9a-3a-2，
解得a=

1

2

，
所以拋物線解析式為y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）B（2，1）
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)B（2，1）在拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（3）P₁（

-1+ 33

2

，0），P₂（

-1- 33

2

，0），P₃（

-3+ 33

2

，0），P₄（

-3- 33

2

，0），P₅（0，0），P₆（1，0）

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形的旋轉(zhuǎn)、函數(shù)圖象交點(diǎn)、平行四邊形的判定等知識，要注意的是（3）題中要將所有可能的條件都考慮到，不要漏解．