Question

已知在同一直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x－3k＋6與y軸交于點(diǎn)P，M是拋物線C：

y＝x²－2(k＋2)x＋8k的頂點(diǎn)．

(1)求證：當(dāng)k≠2時(shí)，拋物線C與x軸必定交于兩點(diǎn)；

(2)A、B是拋物線c與x軸的兩交點(diǎn)，A、B在y軸兩側(cè)，且A在B的左邊，判斷：直線l能經(jīng)過(guò)點(diǎn)B嗎？(需寫(xiě)出判斷的過(guò)程)

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)k，使△ABP和△ABM的面積相等？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線C的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在拋物線C中， 　　Δ＝4(k＋2)2－32k 　　＝4k2－16k＋16 　�。�4(k－2)2．　1分 　　∵當(dāng)k≠2時(shí)，4(k－2)2＞0， 　　∴方程x2－2(k＋2)x＋8k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 　　∴當(dāng)k≠2時(shí)，拋物線C與x軸必定交于兩點(diǎn)．　2分 　　(2)解方程x2－2(k＋2)x＋8k＝0， 　　得x1＝4，x2＝2k．　3分 　　∵點(diǎn)A、B在y軸兩側(cè)，且A在B的左邊， 　　∴k＜0，點(diǎn)B(4，0)．　4分 　　把點(diǎn)B(4，0)代入y＝x－3k＋6， 　　得k＝＞0，與“k＜0”不符． 　　∴直線l不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．　5分 　　(3)y＝x2－2(k＋2)x＋8k 　�。絒x－(k＋2)]2－(k－2)2， 　　作MH⊥x軸于H，則MH＝(k－2)2．　6分 　　∵k＜0，∴－3k＋6＞0． 　　∴OP＝－3k＋6． 　　由S△ABP＝S△ABM，得－3k＋6＝(k－2)2　7分 　　解得k1＝－1，k2＝2(舍去) 　　∴存在實(shí)數(shù)k＝－1，使得S△ABP＝S△ABM． 　　此時(shí)，拋物線C的解析式是y＝x2－2x－8．　8分