Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，△ABD為等腰直角三角形，∠ADB=90゜，AC=AB，AC與BD相交于E點，CF⊥AB于點F，交BD于G點．下列結(jié)論：
①CF=AB；②BE=BC；③BC=CD；④CE=2BF，
其中正確的個數(shù)為

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：①過D作DH⊥AB，垂足為H．由△ABD為等腰直角三角形，可證得DH=AB，易得四邊形DHFC是矩形，即可證得CF=AB；
②由CF=AB，AC=AB，易得∠CAB=30°，又由AC=AB，易求得∠BCE=∠BEC=75°，則可得BE=BC；
③首先過C作CK⊥BD，K是垂足，易得△CKD是等腰直角三角形，繼而求得答案；
④首先過B作BM⊥CE，垂足為M，易證得△BCF≌△CBM，則可證得結(jié)論．
解答：①過D作DH⊥AB，垂足為H．
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴DH是斜邊AB上的中線，DH=AB；
∵CD∥AB，CF⊥AB，
∴四邊形DHFC是矩形，
∴CF=DH=AB，故正確．
②∵CF=AB，AC=AB，
∴CF=AC，
∴∠CAB=30°；
在等腰△ABC中，∠ACB=∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∵∠DBA=45°，
∴∠DBC=75°-45°=30°，
在△BEC中，∠BEC=180°-30°-75°=75°=∠BCE，
∴BE=BC．故正確；
③過C作CK⊥BD，K是垂足，
∵CD∥AB，∠BDC=∠DBA=45°，
∴△CKD是等腰直角三角形，
∴CK=CD，
∵在△BCK中，∠DBC=30°，
∴BC=2CK=CD，故正確．
④直角△CBF中，∠BCF=90°-75°=15°，
∵△BEC是頂角為30°的等腰三角形，
過B作BM⊥CE，垂足為M，則CM=EM=CE，∠CBM=∠CBE=15°，
∴∠BCF=∠CBME，
在△BCF和△CBM中，

∴△BCF≌△CBM（AAS），
∴BF=CM=CE，
即CE=2BF．故正確．
故選D．
點評：此題考查了梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．