Question

如圖，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．設(shè)EF=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

解：∵四邊形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=x
∴EQ=HD=AD-AH=8-x，
∴S_矩形EFPQ=EF•EQ=x（8-x）=-x²+8x=-（x-5）²+20，
∵-＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，S_矩形EFPQ有最大值，最大值為20．
分析：易證得△AEF∽△ABC，而AH、AD是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高，EF、BC是對(duì)應(yīng)邊，則AH：AD=EF：BC，由此得證；要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解；由AH=x，進(jìn)而可得到HD（即FP）的表達(dá)式；已求得了矩形的長(zhǎng)和寬，即可根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于矩形EFPQ的面積和x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到矩形的最大面積及對(duì)應(yīng)的x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．