Question

如圖，直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B，與雙曲線y=（m+5）x^2m+1交于點A、C，其中點A在第一象限，點C在第三象限．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）求B點的坐標；
（3）若S_△AOB=2，求A點的坐標；
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據雙曲線函數的定義可以確定m的值；
（2）利用y=kx+2k當y=0時，x=2就知道B的坐標；
（3）根據（1）知道OB=2，而S_△AOB=2，利用它們可以求出A的坐標；
（4）存在點P，使△AOP是等腰三角形．只是確定P坐標時，題目沒有說明誰是腰，是底，所以要分類討論，不要漏解．
解答：解：（1）∵y=（m+5）x^2m+1是雙曲線
∴．
∴m=-1（2分）
∴（3分）

（2）∵直線y=kx+2k（k≠0）與x軸交于點B
∴當y=0時，0=kx+2k
∴x=-2（5分）
∴B（-2，0）（6分）

（3）∵B（-2，0）
∴OB=2（7分）
過A作AD⊥x軸于點D
∵點A在雙曲線y=上，
∴設A（a，b）
∴ab=4，AD=b（8分）
又∵S_△AOB=OB•AD=×2b=2
∴b=2（9分）
∴a=2，
∴A（2，2）（10分）

（4）P₁（2，0），P₂（4，0），P₃（-2，0），P₄（2，0）．
（寫對一個得一分）（14分）
點評：此題考查了反比例函數的定義確定函數的解析式，也考查了利用函數的性質確定點的坐標，最后考查了根據圖形變換求點的坐標．