【題目】拋物線y=ax2+bx﹣3交x軸于B、C兩點(diǎn),且B的坐標(biāo)為(﹣2,0)直線y=mx+n過點(diǎn)B和拋物線上另一點(diǎn)A(4,3)
(1)求拋物線和直線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且在直線AB下方,過P作PQ∥x軸,且PQ=4(點(diǎn)Q在P點(diǎn)右側(cè)).以PQ為一邊作矩形PQEF,且點(diǎn)E在直線AB上.求矩形PQEF的最大值.并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,在(2)的結(jié)論下,連接AP、BP,設(shè)QE交于x軸于點(diǎn)D,現(xiàn)即將矩形PQEF沿射線DB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止,記平移時(shí)間為t,平移后的矩形PQEF為P′Q′E′F′,且Q′E′分別交直線AB、x軸于N、D′,設(shè)矩形P′Q′E′F′與△ABP的重疊部分面積為s,當(dāng)NA= ND′時(shí),求s的值.
【答案】
(1)
解:∵B的坐標(biāo)為(﹣2,0)直線y=mx+n過點(diǎn)B和拋物線上另一點(diǎn)A(4,3),
∴ ,
∴ ,
∴直線解析式為y= x+1,
∵拋物線過點(diǎn)A,B,
∴ ,
∴ ,
∴y= x2﹣ x﹣3
(2)
解:由矩形的周長(zhǎng)為2(PQ+EQ)=8+2EQ,要使周長(zhǎng)最大,EQ最大即可,
設(shè)P(a, a2﹣ a﹣3),
∴Q(a+4, a2﹣ a﹣3),E(a+4, a+3),
∴EQ= a+3﹣( a2﹣ a﹣3)=﹣ (a﹣1)2+ ,
∴當(dāng)a=1時(shí),EQ最大,P(1,﹣3)
(3)
解:如圖2,
①N在線段AE上時(shí),有DD′=t,oD′=5﹣t,D′(5﹣t,0),N(5﹣t,﹣ t+ ),
過點(diǎn)A作AH⊥ND′,
∴AH∥x軸,
∴NH=﹣ t+ ﹣3=﹣ t+ ,
∴M(0,1)
∴OM=1,
∴BM= ,
∴sin∠MBO= ,
∵AH∥x軸,
∴∠NAH=∠MBO,
∴sin∠MBO= ,
∴ ,
∴NA= (﹣ t+ )
由NA= ND′,
∴ (﹣ t+ )= (﹣ t+ ),
∴t= ,
∵BP的解析式為y=﹣x﹣2,
xJ= ,yJ=﹣ ,
∴J( ,﹣ ),
∵Q( , ),
∴QJ= ,
同理:IP= ,
∴S=S梯形+S△IDA= ,
②N在AB上時(shí),同①的方法一樣,得到MQ=2,NK=1,
S=S梯形MQPI+S梯形PKNI= ×(2+ )× + (1+ )×( ﹣1)=
【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線和直線的解析式,(2)先確定出要使周長(zhǎng)最大,EQ最大即可,求出EQ函數(shù)關(guān)系式即可;(3)①N在線段AE上時(shí)QJ= ,IP= ,再求出面積S=S梯形+S△IDA , ②N在AB上時(shí),MQ=2,NK=1在計(jì)算面積即可S=S梯形MQPI+S梯形PKNI
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.
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(1)求證:△GFN≌△GFD;
(2)如圖,連接ND,若BC=ND,∠ADC=75°,求證:AN=AB;
(3)如圖2,延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)E,過B作BK⊥AE于K,若∠BAF=2∠E,猜想,AB與KF之間有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說明理由.
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A.k≠﹣1
B.k≠1
C.k≠0
D.k≥1
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A. 1 B. C. D.
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C.x6÷x3=x2
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