Question

（2013•武漢）科幻小說(shuō)《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個(gè)情節(jié)：科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過(guò)一天后，測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況（如下表）：

溫度x/℃	…	-4	-2	0	2	4	4.5	…
植物每天高度增長(zhǎng)量y/mm	…	41	49	49	41	25	19.75	…

由這些數(shù)據(jù)，科學(xué)家推測(cè)出植物每天高度增長(zhǎng)量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種．
（1）請(qǐng)你選擇一種適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，求出它的函數(shù)關(guān)系式，并簡(jiǎn)要說(shuō)明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；
（2）溫度為多少時(shí)，這種植物每天高度增長(zhǎng)量最大？
（3）如果實(shí)驗(yàn)室溫度保持不變，在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，那么實(shí)驗(yàn)室的溫度x應(yīng)該在哪個(gè)范圍內(nèi)選擇？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

分析：（1）選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），然后選擇x=-2、0、2三組數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，再根據(jù)反比例函數(shù)的自變量x不能為0，一次函數(shù)的特點(diǎn)排除另兩種函數(shù)；
（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
（3）求出平均每天的高度增長(zhǎng)量為25mm，然后根據(jù)y=25求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫(xiě)出x的取值范圍．

解答：解：（1）選擇二次函數(shù)，設(shè)y=ax²+bx+c（a≠0），
∵x=-2時(shí)，y=49，
x=0時(shí)，y=49，
x=2時(shí)，y=41，
∴

4a-2b+c=49 c=49 4a+2b+c=41

，
解得

a=-1 b=-2 c=49

，
所以，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²-2x+49；
不選另外兩個(gè)函數(shù)的理由：
∵點(diǎn)（0，49）不可能在反比例函數(shù)圖象上，
∴y不是x的反比例函數(shù)；
∵點(diǎn)（-4，41），（-2，49），（2，41）不在同一直線上，
∴y不是x的一次函數(shù)；

（2）由（1）得，y=-x²-2x+49=-（x+1）²+50，
∵a=-1＜0，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值為50，
即當(dāng)溫度為-1℃時(shí)，這種作物每天高度增長(zhǎng)量最大；

（3）∵10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，
∴平均每天該植物高度增長(zhǎng)量超過(guò)25mm，
當(dāng)y=25時(shí)，-x²-2x+49=25，
整理得，x²+2x-24=0，
解得x₁=-6，x₂=4，
∴在10天內(nèi)要使該植物高度增長(zhǎng)量的總和超過(guò)250mm，實(shí)驗(yàn)室的溫度應(yīng)保持在-6＜x＜4℃．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，以及利用二次函數(shù)求不等式，仔細(xì)分析圖表數(shù)據(jù)并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．