Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E為AB邊的中點，G，F分別為AD，BC邊上的點，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E為AB邊的中點，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE= ，GE= ，EF= ，GF= =3．
另法：取GF的中點H，連接EH，

∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四邊形GABF是梯形，
∴EH= （梯形中位線定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH= ，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2× =3（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
【解析】求GF的長，可以先求GE、FE的長，E為AB邊的中點，得出AE的長是解決此問題的途徑，通過證明△AEG∽△BFE可以得出．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．