Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、D兩點(diǎn)，且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半徑r．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）連接OD，如圖，由OB=OD得∠ODB=∠OBD，由AC平分∠ABC得∠OBD=∠DBC，則∠ODB=∠DBC，根據(jù)平行線的判定得到OD∥BC，再利用平行線的性質(zhì)得∠ADO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到AC是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=3，再證明△AOD∽△ABC，利用相似比得

r

3

=

5-r

5

，然后利用比例性質(zhì)求r的值．

解答：（1）證明：連接OD，如圖，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，即

r

3

=

5-r

5

，
解得r=

15

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．