(2008•宜昌)如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,P是邊AB(含端點)上的動點.過P作BC的垂線PR,R為垂足,∠PRB的平分線與AB相交于點S,在線段RS上存在一點T,若以線段PT為一邊作正方形PTEF,其頂點E,F(xiàn)恰好分別在邊BC,AC上.
(1)△ABC與△SBR是否相似,說明理由;
(2)請你探索線段TS與PA的長度之間的關系;
(3)設邊AB=1,當P在邊AB(含端點)上運動時,請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值.

【答案】分析:(1)三角形SBR和ABC中,有一個公共角B,都有一組直角,如果再有一組角相等即可證明兩三角形相似,SR平分∠BRP,那么∠BRS=45°=∠C,因此兩三角形的相似條件湊齊,兩三角形相似;
(2)應該是相等關系,△STP和△APE中,PT=PF,又有一組直角,那么只要再有一組角相等即可得出全等,∠TPS+∠APF=180-90=90°,那么不難證得∠STP=∠APF,因此兩三角形全等,那么TS=PA;
(3)要求正方形FPTE的面積,那么就要求出它的邊長.RS是等腰直角△PRS的高,那么BS=PS,PS=,由(2)證得的全等三角形中我們可得出PS=AF,如果設PA=x,我們就能用x表示出AF的值,直角三角形APF中,我們就能用x表示出PF2,也就得出了y與x的函數(shù)關系式,然后確定x的取值范圍,x最小時x=PA=0此時P與A重合,S與T重合,E與R重合.x最大時,T與R重合,此時TS=BS=SP=PA,因此PA=,那么x的范圍就是0≤x≤,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍求出y的最大和最小值.
解答:解:(1)∵RS是直角∠PRB的平分線,
∴∠PRS=∠BRS=45°.
在△ABC與△SBR中,∠C=∠BRS=45°,
∠B是公共角,
∴△ABC∽△SBR.

(2)線段TS的長度與PA相等.
∵四邊形PTEF是正方形,
∴PF=PT,∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°,
在Rt△PFA中,∠PFA+∠FPA=90°,
∴∠PFA=∠TPS,
∴Rt△PAF≌Rt△TSP,∴PA=TS.
當點P運動到使得T與R重合時,這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等,即有PA=TS.
由以上可知,線段ST的長度與PA相等.

(3)由題意,RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高,
∴PS=BS,∴BS+PS+PA=1,∴PS=
設PA的長為x,易知AF=PS,
則y=PF2=PA2+PS2,得y=x2+(2,
即y=,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當x=時,y有最小值為
如圖2,當點P運動使得T與R重合時,PA=TS為最大.
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR,
∴PA=
如圖3,當P與A重合時,得x=0.
∴x的取值范圍是0≤x≤
∴①當x的值由0增大到時,y的值由減小到
∴②當x的值由增大到時,y的值由增大到
,
∴在點P的運動過程中,正方形PTEF面積y的最小值是,y的最大值是
點評:平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式,變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙地運用變換的基本性質(zhì)或構造變換圖形,均可以使題目的解答簡易而順暢.注意本題中求出二次函數(shù)后要討論出x的取值范圍然后再根據(jù)自變量的范圍求y的值.
練習冊系列答案
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(1)請你確定n的值和點B的坐標;
(2)當動點P是經(jīng)過點O,C的拋物線y=ax2+bx+c的頂點,且在雙曲線y=上時,求這時四邊形OABC的面積.

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(1)通過計算補全圖3;
(2)比較B地與C地中,哪一地平均每頭牛的年產(chǎn)奶量更高?
(3)如果從B,C兩地中選擇一處建設一座工廠解決三個基地的牛奶加工問題,當運送一噸牛奶每千米的費用都為1元(即1元/噸•千米時),那么從節(jié)省運費的角度考慮,應在何處建設工廠?

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