【答案】
分析:(1)三角形SBR和ABC中,有一個公共角B,都有一組直角,如果再有一組角相等即可證明兩三角形相似,SR平分∠BRP,那么∠BRS=45°=∠C,因此兩三角形的相似條件湊齊,兩三角形相似;
(2)應該是相等關系,△STP和△APE中,PT=PF,又有一組直角,那么只要再有一組角相等即可得出全等,∠TPS+∠APF=180-90=90°,那么不難證得∠STP=∠APF,因此兩三角形全等,那么TS=PA;
(3)要求正方形FPTE的面積,那么就要求出它的邊長.RS是等腰直角△PRS的高,那么BS=PS,PS=
,由(2)證得的全等三角形中我們可得出PS=AF,如果設PA=x,我們就能用x表示出AF的值,直角三角形APF中,我們就能用x表示出PF
2,也就得出了y與x的函數(shù)關系式,然后確定x的取值范圍,x最小時x=PA=0此時P與A重合,S與T重合,E與R重合.x最大時,T與R重合,此時TS=BS=SP=PA,因此PA=
,那么x的范圍就是0≤x≤
,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍求出y的最大和最小值.
解答:解:(1)∵RS是直角∠PRB的平分線,
∴∠PRS=∠BRS=45°.
在△ABC與△SBR中,∠C=∠BRS=45°,
∠B是公共角,
∴△ABC∽△SBR.
(2)線段TS的長度與PA相等.
∵四邊形PTEF是正方形,
∴PF=PT,∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°,
在Rt△PFA中,∠PFA+∠FPA=90°,
∴∠PFA=∠TPS,
∴Rt△PAF≌Rt△TSP,∴PA=TS.
當點P運動到使得T與R重合時,這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等,即有PA=TS.
由以上可知,線段ST的長度與PA相等.
(3)由題意,RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高,
∴PS=BS,∴BS+PS+PA=1,∴PS=
.
設PA的長為x,易知AF=PS,
則y=PF
2=PA
2+PS
2,得y=x
2+(
)
2,
即y=
,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),當x=
時,y有最小值為
.
如圖2,當點P運動使得T與R重合時,PA=TS為最大.
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR,
∴PA=
.
如圖3,當P與A重合時,得x=0.
∴x的取值范圍是0≤x≤
.
∴①當x的值由0增大到
時,y的值由
減小到
∴②當x的值由
增大到
時,y的值由
增大到
.
∵
≤
≤
,
∴在點P的運動過程中,正方形PTEF面積y的最小值是
,y的最大值是
.
點評:平移、翻折和旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的三種變換方式,變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等.巧妙地運用變換的基本性質(zhì)或構造變換圖形,均可以使題目的解答簡易而順暢.注意本題中求出二次函數(shù)后要討論出x的取值范圍然后再根據(jù)自變量的范圍求y的值.