Question

如圖1，P₁、P₂、P₃、…、P_n分別是拋物線y=x²與直線y=x、y=2x、y=3x、…、y=kx的交點(diǎn)，連接P₁P₂、P₂P₃，…，P_k-1P_k．
（1）求△OP₁P₂的面積，并直接寫出△OP₂P₃的面積；
（2）如圖2，猜想△OP_k-1P_k的面積，并說明理由；
（3）若將拋物線y=x²改為拋物線y=ax²，其它條件不變，猜想△OP_k-1P_k的面積（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求三角形OP₁P₂的面積，要想利用P₁、P₂的坐標(biāo)就必須通過構(gòu)建三角形，根據(jù)其他三角形的面積的“和，差”關(guān)系來求出三角形OP₁P₂的面積．
過P₂作x軸的垂線交y=x于M，然后過P₁作P₁N⊥P₂M于N，那么三角形OP₁P₂的面積就是三角形OP₂M和P₁P₂M的面積差，然后通過求P₁、P₂、M點(diǎn)的坐標(biāo)，得出P₂M的長(zhǎng)以及以P₂M為底邊的三角形OP₂M和P₁P₂M的高，進(jìn)而可求出三角形OP₁P₂的面積．
求三角形PO₂P₃的面積時(shí)，方法同上．
（2）（3）方法同（1）．
解答：解：（1）∵P₁是拋物線y=x²與直線y=x交點(diǎn)，
由x²=x，解得x₁=1，x₂=0（舍去）
代入，y=x，解得y=1
所以P₁點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）
同理，可求出P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）
過P₂作x軸的垂線交直線y=x于M，
過P₁作P₁Q⊥P₂M于N
∵M(jìn)在直線y=x上，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴P₂M=4-2=2
PN=2-1=1
∴S_△OP1P2=S_△OMP2-S_△P1MP2=×2×2-×2×1=1．
△OP₂P₃的面積是3

（2）△OP_k-1P_k的面積是k（k-1）
方法同（1），求得P_k點(diǎn)坐標(biāo)為（k，k²），
P_k-1坐標(biāo)為（k-1，k²-2k+1），
M坐標(biāo)為（k，k²-k）
∴P_KM=k²-k（k-1）=k
∴S_△OPk-1P_k=×k×k-×k×1=k（k-1）

（3）△OP_k-1P_k的面積是k（k-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合三角形面積的求法考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，通過構(gòu)建三角形從而利用直線與拋物線的交點(diǎn)來求三角形的面積是解題的基本思路．