Question

如圖，△ABC的高BD、CE相交于O．
（1）寫出圖中的兩對(duì)相似三角形，并寫出相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊的比；
（2）連接ED，△ADE與△ABC相似嗎？若相似，給出證明．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的高BD、CE相交于O，易得∠AEC=ADB=90°，∠BEO=∠CDO=90°，又由∠A是公共角，∠EOB=∠DOC，根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可判定：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊的比；
（2）由△ABD∽△ACE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得

AD

AE

=

AB

AC

，又由∠A是公共角，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可判定△ADE與△ABC相似．

解答：解：（1）圖中的兩對(duì)相似三角形為：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC；相應(yīng)的對(duì)應(yīng)邊的比分別為：

AD

AE

=

AC

AB

=

BD

CE

，

OE

OD

=

OB

OC

=

BE

CD

．
理由：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AC

AB

=

BD

CE

；
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，
∴△EOB∽△DOC，
∴

OE

OD

=

OB

OC

=

BE

CD

；

（2）相似．
證明：∵△ABD∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

AC

，
即

AD

AB

=

AE

AC

，
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似與兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．