Question

現(xiàn)將矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD ）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，且，那么AD=________．

Answer 1

2
分析：連DE，由矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD ）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②），根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠EAF=∠EAB=45°，又沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③），再次根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，
則△AGD為等腰直角三角形，而M點正好在∠NDG的平分線上，得到∴∠NDM=∠GDM，易證Rt△NMD≌Rt△GMD，得到DG=DN=，根據(jù)AD=DG即可求出AD．
解答：∵矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD ）沿過A點的直線折疊，使得B點落在AD邊上的點F處，折痕為AE（如圖②），
∴∠EAF=∠EAB=45°，
又∵沿過D點的直線折疊，使得C點落在DA邊上的點N處，E點落在AE邊上的點M處，折痕為DG（如圖③）．連DE，
∴∠NDG=∠CDG=45°，∠MDG=∠EDG，DN=DC=，
∴△AGD為等腰直角三角形，即∠MGD=90°，
又∵第二次折疊后，M點正好在∠NDG的平分線上，
∴∠NDM=∠GDM，
∴Rt△NMD≌Rt△GMD，
∴DG=DN=，
∴AD=DG=2．
故答案為2．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊后兩重合的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形三邊的關系．