Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)F在AC上，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE＝CF，連接BF，DE.線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】DE＝BF，DE⊥BF.理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：本題首先要給出答案，在說(shuō)明理由. 連接DB，根據(jù)DH是AB的垂直平分線得出∠A=∠DBH，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CDB=∠A+∠DBH，故可得出CD=CB．由SAS定理得出△ECD≌△FCB，所以ED=FB，∠DEC=∠BFC，∠DEC+∠FBC=90°，進(jìn)而可得出結(jié)論．

試題解析：

DE＝BF，DE⊥BF.

理由如下：

連接BD，延長(zhǎng)BF交DE于點(diǎn)G.

∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝22.5°.

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，

∴∠ABC＝67.5°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°，

∴△BCD為等腰直角三角形，

∴BC＝DC.

又∵CE＝CF，∴Rt△ECD≌Rt△FCB(SAS)，

∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB.

∵∠CFB＋∠CBF＝90°，∴∠CED＋∠CBF＝90°，

∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF.