Question

如圖，直線y=﹣3x﹣3與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C，經(jīng)過點(diǎn)C且對(duì)稱軸為x=1的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）試求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N在線段OC上以相同的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)），又PN∥x軸，交AC于P，問在運(yùn)動(dòng)過程中，線段PM的長(zhǎng)度是否存在最小值？若有，試求出最小值；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=﹣3x﹣3，

∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）；

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=1，過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣3），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3；

（3）由對(duì)稱性得點(diǎn)B（3，0），設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t）．

∵PN∥OA，

∴△CPN∽△CAO，

∴=，即=，

∴x_P=﹣1．

過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則D（﹣1，0），

∴MD=（3﹣t）﹣（﹣1）=﹣+4，

∴PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），

又∵﹣=＜3，

∴當(dāng)t=時(shí)，PM²最小值為，

故在運(yùn)動(dòng)過程中，線段PM的長(zhǎng)度存在最小值．