Question

（2011•通州區(qū)二模）已知：如圖，⊙A與y軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心A的坐標(biāo)為（1，0），⊙A的半徑為

5

，過(guò)點(diǎn)C作⊙A的切線交x軸于點(diǎn)B（-4，0）．
（1）求切線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙A上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，且∠CGP=120°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接AC，由于BC與⊙A相切，則AC⊥BC，在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求得OC的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式．
（2）可設(shè)出G點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，利用直線BC的解析式表示縱坐標(biāo)），連接AP、AG；由于GC、GP都是⊙A的切線，那么∠AGC=∠ABP=60°，在Rt△AGC中，AC的長(zhǎng)易求得，根據(jù)∠AGC的度數(shù)，即可求得AG的長(zhǎng)；過(guò)G作GH⊥x軸于H，在Rt△GAH中，可根據(jù)G點(diǎn)的坐標(biāo)表示出AH、GH的長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得G點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖1所示，連接AC，則AC=

5

．
在Rt△AOC中，AC=

5

，OA=1，則OC=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
設(shè)切線BC的解析式為y=kx+b，
它過(guò)點(diǎn)C（0，2），B（-4，0），
則有

b=2 -4k+b=0

，
解之得

k= 1 2 b=2

，
∴y=

1

2

x+2；

（2）如圖1所示，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（a，c），
∵點(diǎn)G在直線y=

1

2

x+2上，
∴c=

1

2

a+2，
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸，垂足為H點(diǎn)，則OH=a，GH=c=

1

2

a+2，連接AP，AG．
∵AC=AP，AG=AG，所以Rt△ACG≌Rt△APG （HL），
∴∠AGC=

1

2

×120°=60°．
在Rt△ACG中，
∵∠AGC=60°，AC=

5

，
∴sin60°=

AC

AG

，
∴AG=

2 15

3

．
在Rt△AGH中，AH=OH-OA=a-1，GH=

1

2

a+2，
∵AH²+GH²=AG²，
∴（a-1）²+(

1

2

a+2)2=(

2 15

3

)2，
解之得：a₁=

2 3

3

，a₂=-

2 3

3

（舍去），
點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

2 3

3

，

3

3

+2 ）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)等，本題難度較大．