Question

1．如圖，拋物線(xiàn)y=a（x-2）²-1過(guò)點(diǎn)C（4，3），交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接OC，CM，求tan∠OCM的值；
（3）若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，連接BP，CP，BM，當(dāng)∠CPB=∠PMB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)勾股定理及逆定理，可得∠OMC=90°，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PM的值，可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）由拋物線(xiàn)y=a（x-2）²-1過(guò)點(diǎn)C（4，3），得
3=a（4-2）²-1，解得a=1，
拋物線(xiàn)的解析式為y=（x-2）²-1，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）如圖1，
連接OM，OC²=3²+4²=25，OM²=2²+1²=5，CM²=2²+4²=20，
∴CM²+OM²=OC²，∴∠OMC=90°，
OM=$\sqrt{5}$，CM=2$\sqrt{5}$，
tan∠OCM=$\frac{OM}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$；
（3）如圖2，
過(guò)C作CN⊥對(duì)稱(chēng)軸，垂足N在對(duì)稱(chēng)軸上，取一點(diǎn)E，使EN=CN=2，連接CE，EM=6．
當(dāng)y=0時(shí)，（x-2）²-1=0，解得的x₁=1，x₂=3，A（1，0），B（3，0）．
∵CN=EN，∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°，
∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM，
∴∠EPC=∠PBM
∴△CEP∽△PMB，
∴$\frac{EP}{MB}$=$\frac{CE}{PM}$，解得MB=$\sqrt{2}$，CE=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{6-PM}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{PM}$，解得PM=3$±\sqrt{5}$，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2+$\sqrt{5}$）或（2，2-$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出PM的值是解題關(guān)鍵．