Question

【題目】已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，過點(diǎn)A作AP的垂線，交PB的延長線于點(diǎn)C．

(1)如圖1，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交PC于點(diǎn)E，若DE∥AB，求證：PA=PB；

(2)如圖2，已知⊙O的半徑為2，AB=2．

①當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠C的度數(shù)為　 　°；

②當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積隨之變化，求△ABP面積的最大值；

③當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABC的面積隨之變化，△ABC的面積的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①30；②3；③6+3．

【解析】

（1）根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑可得PD是直徑，結(jié)合DE是切線，DE∥AB，可得AB⊥PD，利用垂徑定理可證．

（2）①只要求出∠AOB的度數(shù)，便可知∠APC的度數(shù)，利用∠C和∠APC互余的關(guān)系可得∠C度數(shù)；②分析后可以發(fā)現(xiàn)：PD⊥AB時(shí)面積最大；③利用∠C的數(shù)值不變可知點(diǎn)C在AB為弦的同一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而找到C點(diǎn)在何處可使得△ABC面積最大，從而求值．

（1）如圖1，連接DP交AB于點(diǎn)F．

∵CA⊥AP，∴DP是⊙O的直徑．

∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥DP．

又∵DE∥AB，∴AB⊥DP，∴DP垂直平分AB（垂徑定理），∴PA＝PB；

（2）①連接OA、OB，由（1）知，DP垂直平分AB．

∵AB＝2，∴AF＝BF．

∵⊙O的半徑是2，∴OA＝OB＝2，∴sin∠AOF，∴∠AOF＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠APB∠AOB＝60°．

∵CA⊥AP，∴∠C+∠APB＝90°，∴∠C＝30°；

②當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABP的面積由點(diǎn)P到AB的距離決定．

根據(jù)圖形的性質(zhì)可知：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PD⊥AB時(shí)，PF即是最大距離．

∵OA＝2，PD⊥AB，∠AOF＝60°，∴OF＝1，∴PF＝OF+OP＝1+2＝3，∴△ABP的面積最大值是：ABPF3＝3；

③由①知在變化過程中∠ACB＝30°恒成立，∴點(diǎn)C在以AB為弦的某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)這個(gè)圓的圓心為H，如圖3所示．

連接AH、BH，∴∠AHB＝2∠ACB＝60°．

∵AH＝BH，∴△ABH是等邊三角形．

∵AB＝2，∴⊙H的半徑HA＝2，作CG⊥AB，顯然，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到CG經(jīng)過圓心H時(shí)△ABC面積最大．

此時(shí)，CG＝CH+HG，CH＝2．

∵HG⊥AB，AB＝2，∴HG＝AHsin60°＝3，∴CG＝23，∴△ABC面積最大值是：

ABCG（23）＝6+3．