Question

已知：拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)A是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，試在軸上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)A作AC∥BP交軸于點(diǎn)C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵ 拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),

∴ =0. 解得 .

∵ ，∴  ∴ …1分

∴ .  ………………………….2分

（2）令，得=0，

解得 .  ∴ ………..3分

∴點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.

聯(lián)結(jié)，直線與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.

可求得直線的解析式：.  ∴  ……………………………4分

 

（3）到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)有四個(gè)．

如圖，由勾股定理得，所以△PAC為等邊三角形．

易證軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個(gè)外角的平分線．作∠PCA的平分線，交軸于點(diǎn)，交過A點(diǎn)的平行線于y軸的直線于點(diǎn)，作△PAC的∠PCA相鄰?fù)饨堑钠椒志�，交于點(diǎn)，反向延長C交軸于點(diǎn)．可得點(diǎn)就是到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)．可證△AP 、△AC、 △PC均為等邊三角形．可求得：①，所以點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為；…………5分

 

②，所以點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為；………………………………....6分③點(diǎn)M₃與點(diǎn)M₂關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為；………………..…..7分

④點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,,．…………………………….. 8分

 

【解析】略