Question

【題目】如圖①，在直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以OA為一邊在第一象限內作正方形OABC，點D是x軸正半軸上一動點（OD>1，且OD≠2），連接BD，以BD為邊在第一象限內作正方形DBFE，設M為正方形DBFE的中心，直線MA交y軸于點N.如果定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形.

(1)、試找出圖1中的一個損矩形 ；

(2)、試說明（1）中找出的損矩形一定有外接圓；

(3)、隨著點D的位置變化，點N的位置是否會發(fā)生變化？若沒有發(fā)生變化，求出點N的坐標；若發(fā)生變化，請說明理由.

(4)、在圖②中，過點M作MG⊥y軸，垂足是點G，連結DN，若四邊形DMGN為損矩形，求點D的坐標.

Answer 1

【答案】(1)、四邊形ADMB；(2)、證明過程見解析；(3)、N(0，－1)；(4)、D(3,0).

【解析】

試題分析：(1)、根據題意得出損矩形；(2)、取BD中點H，連接MH，AH，根據四邊形OABC和四邊形BDEF為正方形得出△ABD和△BDM為直角三角形，從而得出HA=HB=HM=HD=BD，說明損矩形ABMD一定有外接圓；(3)、根據外接圓的性質得出∠MAD=∠MBD，根據四邊形BDEF是正方形得出OA和ON的長度，從而得出點N的坐標；(4)、延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥x軸于點Q，設點MG=x，根據△MBP和△MDQ全等得出關于x的一元二次方程，從而求出點D的坐標.

試題解析：(1)、四邊形ADMB就是一個損矩形．

(2)、取BD中點H，連接MH，AH． ∵四邊形OABC，BDEF是正方形， ∴△ABD，△BDM都是直角三角形，

∴HA=BD，HM=BD ∴HA=HB=HM=HD=BD ∴損矩形ABMD一定有外接圓．

(3)、∵損矩形ABMD一定有外接圓⊙H ∴∠MAD=∠MBD ∵四邊形BDEF是正方形

∴MBD=45° ∴MAD=45° ∴OAN=45° ∵OA=1 ∴ON=1 ∴N點的坐標為（0，﹣1）．

(4)、延長AB交MG于點P，過點M作MQ⊥x軸于點Q 設點MG=x，則四邊形APMQ為正方形

∴PM=AQ=x﹣1 ∴OG=MQ=x﹣1 ∵△MBP≌△MDQ ∴DQ=BP=CG=x﹣2 ∴MN2=2x2

ND2=（2x﹣2）2+12 MD2=（x﹣1）2+（x﹣2）2

∵四邊形DMGN為損矩形 ∴2x2=（2x﹣2）2+12+（x﹣1）2+（x﹣2）2 ∴2x2﹣7x+5=0

∴x=2.5或x=1（舍去） ∴OD=3 ∴D點坐標為（3，0）．