【題目】在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A出發(fā),沿AB邊向點B以每秒1cm的速度移動,同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動P、Q兩點在分別到達B、C兩點后就停止移動,設兩點移動的時間為t秒,回答下列問題:
(1)如圖1,當t為幾秒時,△PBQ的面積等于5cm2?
(2)如圖2,當t=秒時,試判斷△DPQ的形狀,并說明理由;
(3)如圖3,以Q為圓心,PQ為半徑作⊙Q.
①在運動過程中,是否存在這樣的t值,使⊙Q正好與四邊形DPQC的一邊(或邊所在的直線)相切?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由;
②若⊙Q與四邊形DPQC有三個公共點,請直接寫出t的取值范圍。
【答案】(1)1秒或5秒(2)直角三角形(3)①t=0或t=﹣18+12②0<t<6﹣18
【解析】試題分析:(1)由題意可知PA=t,BQ=2t,從而得到PB=6﹣t,BQ=2t,然后根據(jù)△PQB的面積=5cm2列方程求解即可;
(2)由t=,可求得AP=,QB=3,PB=,CQ=9,由勾股定理可證明DQ2+PQ2=PD2,由勾股定理的逆定理可知△DPQ為直角三角形;
(3)①當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合,此時圓Q與PD相切;當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,由圓的性質可知QC=QP,然后依據(jù)勾股定理列方程求解即可;
②先求得⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點時t的值,然后可確定出t的取值范圍.
試題解析:(1)∵當運動時間為t秒時,PA=t,BQ=2t,
∴PB=6﹣t,BQ=2t.
∵△PBQ的面積等于5cm2,
∴PBBQ=(6﹣t)2t.
∴.
解得:t1=1,t2=5.
答:當t為1秒或5秒時,△PBQ的面積等于5cm2.
(2)△DPQ的形狀是直角三角形.
理由:∵當t=秒時,AP=,QB=3,
∴PB=6﹣=,CQ=12﹣3=9.
在Rt△PDA中,由勾股定理可知:PD2=DA2+PA2=122+()2=.
同理:在Rt△PBQ和Rt△DCQ中由勾股定理可得:DQ2=117,PQ2=.
∵117+=,
∴DQ2+PQ2=PD2.
所以△DPQ的形狀是直角三角形.
(3)①(Ⅰ)由題意可知圓Q與AB、BC不相切.
(Ⅱ)如圖1所示:當t=0時,點P與點A重合時,點B與點Q重合.
∵∠DAB=90°,
∴∠DPQ=90°.
∴DP⊥PQ.
∴DP為圓Q的切線.
(Ⅲ)當⊙Q正好與四邊形DPQC的DC邊相切時,如圖2所示.
由題意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,PQ=CQ=12﹣2t.
在Rt△PQB中,由勾股定理可知:PQ2=PB2+QB2,即(6﹣t)2+(2t)2=(12﹣2t)2.
解得:t1=﹣18+12,t2=﹣18﹣12(舍去).
綜上所述可知當t=0或t=﹣18+12時,⊙Q與四邊形DPQC的一邊相切.
②(Ⅰ)當t=0時,如圖1所示:⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點;
(Ⅱ)如圖3所示:當圓Q經(jīng)過點D時,⊙Q與四邊形DPQC有兩個公共點.
由題意可知:PB=6﹣t,BQ=2t,CQ=12﹣2t,DC=6.
由勾股定理可知:DQ2=DC2+CQ2=62+(12﹣2t)2,PQ2=PB2+QB2=(6﹣t)2+(2t)2.
∵DQ=PQ,
∴DQ2=PQ2,即62+(12﹣2t)2=(6﹣t)2+(2t)2.
整理得:t2+36t﹣144=0.
解得:t1=6﹣18,t2=﹣6﹣18(舍去).
∴當0<t<6﹣18時,⊙Q與四邊形DPQC有三個公共點.
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【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結論中錯誤的有( )
①當AB=BC時,它是菱形;②當AC⊥BD時,它是菱形;③當∠ABC=90°時,它是矩形;④當AC=BD時,它是正方形.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】在□ABCD中,AC、BD交于點O,過點O作直線EF、GH,分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點,連接EG、GF、FH、HE.
(1)如圖①,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由;
(2)如圖②,當EF⊥GH時,四邊形EGFH的形狀是 ;
(3)如圖③,在(2)的條件下,若AC=BD,四邊形EGFH的形狀是 ;
(4)如圖④,在(3)的條件下,若AC⊥BD,試判斷四邊形EGFH的形狀,并說明理由.
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【題目】數(shù)軸上點A表示a,將點A沿數(shù)軸向左移動3個單位得到點B,設點B所表示的數(shù)為x,則x可以表示為( )
A.a﹣3
B.a+3
C.3﹣a
D.3a+3
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【題目】某同學使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時,錯將其中的一個數(shù)據(jù)105輸入為150,那么由此求出的平均數(shù)比實際平均數(shù)多____.
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【題目】我省某地生產(chǎn)的一種綠色蔬菜,在市場上若直接銷售,每噸利潤為1000元,經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達4500元,經(jīng)精加工后銷售,每噸利潤漲至7500元. 當?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸.該公司加工廠的生產(chǎn)能力是:如果對蔬菜進行粗加工,每天可加工16噸;如果進行精加工,每天可加工6噸,但兩種加工方式不能同時進行.受季節(jié)等條件限制,公司必須用15天的時間將這批蔬菜全部銷售或加工完畢.為此,公司研制了三種可行方案:
方案一:將蔬菜全部進行粗加工.
方案二:盡可能多的對蔬菜進行精加工,沒來得及進行加工的蔬菜,在市場上直接出售.
方案三:將一部分蔬菜進行精加工,其余蔬菜進行粗加工,并恰好用15天完成.
你認為選擇哪種方案獲利最多?為什么?
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【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”在各領域的延伸與融合,互聯(lián)網(wǎng)移動醫(yī)療發(fā)展迅速,預計到2018年我國移動醫(yī)療市場規(guī)模將達到29150000000元,將29150000000用科學記數(shù)法表示為 .
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